Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

2 ◦ Na osnovu (1) imamoITERATIVNI METODI U LINEARNOJ ALGEBRI 99X n = X n−1 (2I − AX n−1 )(2)Kako jetj.imamo redom= X n−1 (I + (I − AX n−1 ))= X n−1 (I + C n−1 ) .C n = I − AX n = I − AX n−1 (I + C n−1 ) ,C n = I − (I − C n−1 ) (I + C n−1 ) = Cn−1 2 ,(3) C n = C 2 n−1 = C 22n−2 = C 23n−3 = · · · = C 2n0 ,čime je dokaz završen.tj.3 ◦ Na osnovu (2) i (3) važe jednakostiX n+1 = X n (I + C n )= X n−1 (I + C n−1 ) (I + C n ).= X 0`I + C0´`I + C1´`I + C2´· · ·`I + Cn´= X 0`I + C0´`I + C20´`I + C2 20´· · ·`I + C2 n ´0 ,(4) X n+1 = X 0`I + C0 + C0 2 + C0 3 + · · · + C 2n+1 −1´ 0 .Iterativni proces (1), tj. (4), je ekvikonvergentan sa matričnim redom(5) I + C 0 + C 2 0 + C 3 0 + · · · .Kako red (5) konvergira ka (I −C 0 ) −1 ako i samo ako su sve sopstvene vrednostimatrice C 0 manje po modulu od jedan (videti [1, str. 222-226]), tj.˛(6)˛λ i (C 0 )˛˛ < 1 (i = 1,2, . . . , m) ,gde je m red matrice C 0 , na osnovu (4) imamolimn→+∞ X n+1 = X 0 (I − C 0 ) −1 = X 0 (AX 0 ) −1 = X 0 X −10 A−1 = A −1 .