Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

NUMERIČKA INTEGRACIJA 313b) S obzirom da je1√1 − x 4 = 1√1 − x 2 · 1√1 + x 2 ,u ovom slučaju uzećemo f(x) = 1/ √ 1 + x 2 . Primenom formule (1) za n = 2(1)9dobijamo rezultate koji su, takod¯e, dati u prethodnoj tabeli. Tačna vrednostintegrala sa šest decimala je 1.311028.7.2.24. Za izračunavanje vrednosti integrala∫ 20√x(2 − x) f(x)dxizvesti Gaussovu kvadraturnu formulu stepena tačnosti pet.Rešenje. Odredimo najpre momenteC k =Smenom x = 2t dobijamoZ 20C k = 2 k+2 Z 10x k p x(2 − x) dx (k = 0,1, ...) .“t k+1/2 (1 − t) 1/2 dt = 2 k+2 Bk + 3 2 , 32”,tj.C k =(2k + 1)!! π(k + 2)!(k = 0,1, . . .).Dakle, C 0 = π 2 i C k = 2k + 1k + 2 C k−1 (k = 1, 2, . . .).Da bismo dobili formulu algebarskog stepena tačnosti 5 potrebno je uzeti n = 3čvora (2n − 1 = 5). Prema tome, treba konstruisati formuluZ 20px(2 − x)f(x)dx = A1 f(x 1 ) + A 2 f(x 2 ) + A 3 f(x 3 ) + R 3 (f).Čvorovi x k (k = 1,2,3) su nule polinoma Q 3 (x), ortogonalnog na (0,2) sa težinsk-