Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

LINEARNI VIŠEKORAČNI METODI 355Pretpostavimo sada da je a 0 = −¯h < 0. Pomnožimo polinom (4) sa minusjedan,(5) (−1) P(z) = −a 0 z 2 − a 1 z − a 2 .Polinom (−1) P(z) je Hurwitzov za iste vrednosti ¯h kao i polinom P(z) (nule su imiste), ali je sada, s obzirom na učinjenu pretpostavku, −a 0 > 0. Da bi polinom (4),tj. (5), bio Hurwitzov, na osnovu (3), zahtevamo još −a 1 > 0 i (−a 1 )(−a 2 ) > 0.Dakle, a 0 < 0, a 1 < 0 i a 2 < 0, što nije ispunjeno ni za jedno ¯h.Iz svega, zaključujemo da je interval apsolutne stabilnosti za metod (1) dat sa¯h ∈ (−4/3, 0).8.2.8. Dat je linearni višekoračni metody n+3 − y n+2 + y n+1 − y n = h 12 (5f n+3 + 7f n+2 + 7f n+1 + 5f n ).a) Naći red p i konstantu greške C p+1 .b) Ispitati konvergenciju metoda.c) Ispitati egzistenciju intervala apsolutne stabilnosti.d) Na osnovu dobijenih karakteristika prokomentarisati metod.Rešenje. a) S obzirom da je C 0 = C 1 = C 2 = C 3 = C 4 = 0, C 5 = − 19360 ,zaključujemo da su red metoda i konstanta greške redomp = 4 , C 5 = − 19360 .b) Prvi karakteristični polinom datog metodaρ(ξ) =3Xα i ξ i = ξ 3 − ξ 2 + ξ − 1 = `ξ 2 + 1´(ξ − 1)i=0ima nule ξ 1 = 1, ξ 2,3 = ±i. Dakle, nema nula sa modulom većim od jedinice isve nule sa modulom jedan su proste, pa je metod nula-stabilan. Kako je on ikonzistentan (p = 4 ≥ 1) sleduje da je i konvergentan.c) Polinom stabilnosti jeπ`r, ¯h´ = ρ(r) − ¯hσ(r) = r 3 − r 2 + r − 1 − ¯h 3`5r + 7r2 + 7r + 5´12