Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

28 OSNOVNI ELEMENTI NUMERIČKE MATEMATIKEPokažimo da f monotono raste. Kako je[xf(x)] ′ = 1cos x 2 ,imamoxf ′ (x) = 1cos 2 x − f(x) = 1cos 2 x − sin xxcos x= 1 „1cos 2 − 1 «x x sin x cos x= 1cos 2 x„1 −«sin 2x> 0 .2xDakle, izraz pod sumom monotono raste. Za n vrlo veliko, na primer n = 10 5 ,najveći broj sabiraka sume je zanemarljivo mali, izuzev nekoliko njih kod kojih seindeks sume k približava vrednosti n, pa oni naglo rastu ka maksimalnoj vrednosti≈ 4/π. To može biti pokazano stavljanjem k = n − r za neki fiksirani (mali)prirodan broj r i veliko n. U tom slučaju imamoi, kada n → +∞,tan(n − r)π2n + 1 = tan „ π2 − π 2n − r2n + 1 = 1 2 − 2r + 12(2n + 1)«2r + 1=2n + 1„ πcos2„ πsin2«2r + 12n + 1« ∼ 4 2r + 1 π2n + 1n2r + 1 .Dakle,1 (n − r)πtann − r 2n + 1 ∼ 4 1, kada n → +∞.π 2r + 1b) U S– i D–aritmetici 8) se dobijaju sledeći rezultati:n λ n (S–aritmetika) λ n (D–aritmetika)1 0.1435991 · 10 0.1435991124 · 1010 0.2223358 · 10 0.2223356924 · 10100 0.3138789 · 10 0.3138780093 · 101000 0.4070239 · 10 0.4070163604 · 1010000 0.5003598 · 10 0.5003183862 · 10100000 0.5939583 · 10 0.5936368212 · 108) Odgovarajuće mašinske preciznosti eps na 533au2 su 1.19 · 10 −7 (za S-aritmetiku),2.22 · 10 −16 (za D–aritmetiku) i 1.93 · 10 −34 (za Q–aritmetiku).