Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

ITERATIVNI METODI U LINEARNOJ ALGEBRI 814.2.2. Metodom proste iteracije, ukoliko je metod konvergentan, naćipribližno rešenja sistema linearnih jednačinax 1 = 0.2x 1 − 0.30x 2 + 7,x 2 = 0.4x 1 + 0.15x 2 + 6.5.Rešenje. Dati sistem možemo predstaviti u obliku(1) x = Bx + β ,gde jex =»x1–, B =x 2» – » –0.2 −0.30 7, β = .0.4 0.15 6.5Jedan od najprostijih stacionarnih metoda za rešavanje sistema linearnih jednačina(1) je metod proste iteracije(2) x (k) = Bx (k−1) + β .Ako je x (0) proizvoljan vektor, dovoljan uslov za konvergenciju procesa (2) je dabilo koja norma matrice B bude manja od jedinice (videti [1, str. 252]). S obziromda je ‖B‖ ∞ = 0.55 < 1, sleduje da je proces (2) konvergentan. (Napominjemo dau slučaju ‖B‖ ≥ 1, na osnovu te činjenice, ne možemo zaključuti da proces (2) nijekonvergentan).(3)Da bismo primenili (2) predstavimo ga u skalarnom obliku, tj.x (k)1= 0.2 x (k−1)1− 0.3 x (k−1)2+ 79=x (k)2= 0.4 x (k−1)1+ 0.15 x (k−1) ;2+ 6.5(k = 1, 2, . . .).Iako smo napomenuli da je x (0) proizvoljan vektor, u primenama se često uzimada je(4) x (0) =24 x(0) 1x (0)23235 = β = 4 7 5 .6.5Kao i kod svih iterativnih procesa, pored metoda i potrebnih startnih vrednosti,neophodan je i kriterijum završetka procesa. Najčešće se zadaje neko ε, tako da je‖x (k) −x (k−1) ‖ ≤ ε. Pri korišćenju računara, često se pored ovog uslova, unapredfiksira i broj iteracija takav da, ukoliko nismo učinili neku semantičku (logičku)grešku, proces postigne tačnost ε sa manjim brojem iteracija od fiksiranog. Ovaj