Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

98 NUMERIČKI METODI U LINEARNOJ ALGEBRI1.61 2.800000 -1.152000 1.440914 0.5404532 0.226838 -1.247126 0.743384 1.6093553 0.877563 -0.691700 1.152314 0.8601434 1.308668 -1.206710 0.971141 0.8109855 0.883328 -0.915649 0.935552 1.1944486 0.948185 -1.007166 1.086390 0.9418447 1.074747 -1.020691 0.944332 0.9626208 0.976779 -0.979468 1.015471 1.0488109 0.983097 -1.012165 1.007435 0.98001810 1.021261 -0.994876 0.988629 0.996383Tačno rešenje datog sistema jednačina je vektor[1 − 1 1 1] ⊤ .Na osnovu dobijenih iteracija, može se videti da je, u ovom primeru, najbržakonvergencija metod suksesivne gornje relaksacije kada je parametar ω = 1.2.4.2.13. Dat je iterativni proces(1) X n+1 = X n (2I − AX n ) (n = 0,1,... )za nalaženje inverzne matrice A −1 matrice A, gde je X 0 proizvoljna matrica.1 ◦ Dokazati da je proces (1) analogan Newtonovom metodu za izračunavanjerecipročne vrednosti datog broja.2 ◦ Ako se uvede C n = I − AX n , dokazati da je C n = C 2n0 .3 ◦ Dokazati da je potreban i dovoljan uslov za konvergenciju iterativnogprocesa (1) da sopstvene vrednosti matrice C 0 leže u jediničnom krugu.Rešenje. 1 ◦ Posmatrajmo funkciju x ↦→ f(x) = 1 −a. Primenom Newtonovogxmetoda na odred¯ivanje nule funkcije f, dobijamox n+1 = x n − f(x n)f ′ (x n ) = x n −1x n− a− 1x 2 n,tj.x n+1 = x n (2 − ax n ) ,što je analogon formuli (1).