Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

KARAKTERISTIKE PROCESA I UBRZAVANJE KONVERGENCIJE 57Rešenje. Korišćenjem iterativnog procesa (1) dobijamoodakle zaključujemo da je a = 2.S obzirom da jek x k0 01 1.41422 1.8478.9 2.000010 2.00002 = F(2), F ′ (2) = 1 4 ,sleduje da iterativni proces (1) ima red konvergencije r = 1, pri čemu je asimptotskakonstanta greške (videti [1, str. 188])K =|xlim k+1 − 2|=k→+∞ |x k − 2|˛F ′ (2)1!˛ = 1 4 .3.2.2. Na ubrzavanje konvergencije iterativnog procesa(1) x k+1 = e −x k(k = 0,1,... )primenjen je Aitkenov ∆ 2 metod, pri čemu je dobijen niz {x ∗ k}. Odreditilimk→+∞gde je a koren jednaine xe x − 1 = 0.x ∗ k − a(x k − a) 2 ,Rešenje. Datu jednačinu x e x − 1 = 0 mozemo predstaviti u obliku x = e −x .Ako skiciramo grafike funkcija x ↦→ x i x ↦→ e −x nije teško uočiti da jedinstvenkoren date jednačine a ∈ [0.2, 0.9].S obzirom da iterativna funkcija Φ(x) = e −x iterativnog procesa (1) zadovoljavauslove1 ◦ Φ : [0.2, 0.9] ↦→ [0.2, 0.9],2 ◦ Φ ∈ C 2 [0.2, 0.9],3 ◦ ˛˛Φ′ (x)˛˛ < 1 za svako x ∈ [0.2, 0.9],