Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

94 NUMERIČKI METODI U LINEARNOJ ALGEBRIgde suA =⎡⎣ 10 1 01 4 −11 2 −8⎤⎦ , b = [11 6 11] ⊤ ,može rešiti i Jacobievom i Gauss–Seidelovom (varijanta Nekrasova) iterativnimmetodom. Odrediti aproksimacije x (1) ,x (2) ,x (3) obema metodamapri izboru x (0) = 0.Rešenje. Matrica A je strogo dijagonalno dominantna pa je ispunjen uslov zakonvergenciju oba metoda (videti [1, str. 266]).Iterativne formule za Jacobiev metod su1= 1 `1110x (k+1)x (k+1)2= 1 4x (k+1)3= − 1 8(k) ´− x2(k) `6 − x1+ x (k)3´(k) `11 − x1− 2x (k)29´>=>;(k = 0,1, . . . ),dok su u slučaju Gauss-Seidelovog metoda,x (k+1)1= 1 (k) ´`11 − x102x (k+1)2= 1 4x (k+1)3= − 1 8(k+1)`6 − x1+ x (k)3´(k+1)`11 − x1− 2x (k+1)29´>=>;(k = 0,1, . . . ).Iteracije dobijene Jacobievim i Gauss-Seidelovim metodom prikazane su u prvoji drugoj tabeli, respektivno.x (0) x (1) x (2) x (3) . . . x ∗234 0 0 5024 1.11.5−1.3753524 0.950.881−0.8633524 1.0121.046−1.0363524 1 1−135x (0) x (1) x (2) x (3) . . . x ∗234 0 0 5024 1.11.225−0.931253524 0.97751.02281−0.997113524 0.99771.00129−0.999963524 1 1−135