Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

ORTOGONALNI I S-ORTOGONALNI POLINOMI 43Primenom parcijalne integracije, gde je u = x 2k−1 , dv =(2k − 1) x 2k−2 dx, v = −(1 − x 2 ) 1/2 , dobijamotj.x√ dx, tj. du =1 − x 2C 2k = −x 2k−1 (1 − x 2 ) 1/2˛˛˛1Z 1− (2k − 1) (−x 2k−2 ) p 1 − x 2 dx−1 −1Z 1x 2k−2 (1 − x 2 )= (2k − 1) √ dx = (2k − 1) (C−1 1 − x 22k−2 − C 2k ),C 2k = 2k − 12kKako je C 0 = π, imamo C 2k =(2k − 1)!!(2k)!!C 2k−2π (k ∈ N).(k ∈ N).U prostoru L 2 (−1,1) sa p(x) = (1 − x 2 ) −1/2 definisan je skalarni proizvod(f, g) =Z 1−11√1 − x 2 f(x)g(x)dx (f, g ∈ L2 (−1, 1)).Polazeći od prirodnog bazisa ˘1, x, x 2 , . . . ¯, Gram–Schmidtovim postupkom ortogonalizacije(videti [1, str. 90–92]) dobijamo niz ortogonalnih polinoma {Q k }(k ∈ N 0 ) u odnosu na uvedeni skalarni proizvod, uzimajući Q 0 (x) = 1 itj.Q k (x) = x k k−1 X−i=0“x k , Q i”(Q i , Q i ) Q i(x) (k ∈ N),Q 0 (x) = 1 , Q 1 (x) = x , Q 2 (x) = x 2 − C 2C 0Q 0 = x 2 − 1 2 ,Q 3 (x) = x 3 − C 4C 2Q 1 (x) = x 3 − 3 4 x ,Q 4 (x) = x 4 − C 4C 0Q 0 −C 6 − 1 2 C 4C 4 − C 2 + 1 4 C 0Q 2 = x 4 − x 2 + 1 8 .Primetimo da smo ovde koristili momente C n (n = 0, 1, . . . ,7). Uopšte, dabismo generalisali niz ortogonalnih polinoma {Q 0 , Q 1 , . . . , Q n } potrebno je prvih2n momenata težinske funkcije, tj. C 0 , C 1 , . . . , C 2n−1 .Ortogonalni polinomi iz dobijenog niza imaju koeficijente uz najviši stepen promenljivex jednake jedinici. Ortogonalne polinome sa ovakvom osobinom zovemo