Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

NUMERIČKA INTEGRACIJA 2817.2.5. Ako f ∈ C 4 [a,b], korišćenjem Peanoove teoreme odrediti ostatakR 3 (f) u Simpsonovoj formuli.Rešenje. Ako prepostavimo da f ∈ C p+1 [a, b], gde je p algebarski stepentačnosti kvadraturne formule, prema Peanoovoj teoremi (videti [2, str. 151–152])ostatak R(f) se može predstaviti u obliku(1) R(f) =Z baK p (t) f (p+1) (t) dt,gde je K p Peanoovo jezgro. U specijalnom slučaju, kada jezgro ne menja znak na[a, b], ostatak R(f) se može predstaviti u obliku(2) R(f) = R(xp+1 )(p + 1)! f(p+1) (ξ) (a < ξ < b) .tj.Kod Simpsonovog pravila imamo p = 3 i3! K 3 (t) =8(b − t)44(b−t) 424>: (b − t) 4−24− b − a6− b−a36odakle sred¯ivanjem dobijamo„“ «· (a − t) 3 a + b 3+ + 4 − t”2+ (b − + t)3 + ,„ “ a+b” 3 “4 − t + (b−t)3«2(b − a)(b − t)3368(b − t)3>< − (3t − (2a + b))72K 3 (t) =>: K 3 (a + b − t)“ a + b2“a ≤ t ≤ a+b2“ a+b2”≤ t ≤ b ,a ≤ t ≤ a + b2”,”≤ t ≤ b ,Primetimo da je K 3 (t) ≤ 0 (t ∈ [a, b]), tj. da jezgro ne menja znak na [a, b].Kako jeR 3 (x 4 ) = 1 5na osnovu (2) imamo“b 5 − a 5” − 1 6 (b − a) „a 4 + 4“ a + b2R 3 (f) = −(b − a)52880 f(4) (ξ) (a < ξ < b) .”.” 4+ b4«(b − a)5= − ,120