Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

260 NUMERIČKO DIFERENCIRANJE I NUMERIČKA INEGRACIJA7.1.2. Odrediti koeficijente a ik (i,k = 0,1,... ,n) u formuli za numeričkodiferenciranje(1) f ′ (x i ) ∼ =n∑a ik f(x k ) (i = 0,1,... ,n),k=0tako da ona bude tačna za svako f ∈ P n , gde je P n skup polinoma ne višegod n-tog stepena i x i ≠ x j za i ≠ j.Rešenje. Ideje za približno nalaženje izvoda funkcije x ↦→ f(x) se zasnivajuna aproksimaciji funkcije f pogodnom funkcijom ϕ i uzimanjem da je f (k) (x) ∼ =ϕ (k) (x) (k = 1,2, . . .).U cilju odred¯ivanja koeficijenata a ik (i, k = 0, 1, . . . , n) u formuli (1), aproksimirajmofunkciju x ↦→ f(x) Lagrangeovim interpolacionim polinomom x ↦→ P n (x) naosnovu skupa podataka (x k , f(x k )) k=0,1,...,n . Tada jegde jef(x) ∼ = P n (x) =nXL k (x)f(x k ),k=0L k (x) = (x − x 0) · · · (x − x k−1 )(x − x k+1 ) · · ·(x − x n )(x k − x 0 ) · · ·(x k − x k−1 )(x k − x k+1 ) · · ·(x k − x n ) , k = 0,1, . . . , n .Sada je(2) f ′ (x) ∼ = P ′ n(x) =pa za x = x i imamo(3) f ′ (x i ) ∼ = P ′ n(x i ) =nXL ′ k(x)f(x k ),k=0nXL ′ k(x i )f(x k ), i = 0,1, . . . , n .k=0Primetimo da je x ↦→ L k (x) (k = 0,1, . . . , n) polinom n-tog stepena, daklefunkcija koja je beskonačno puta neprekidno-diferencijabilna. Ako uvedemo ω(x)= (x − x 0 )(x − x 1 ) · · ·(x − x n ), tada je8ω(x)>:1 (x = x k ),