Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

24 OSNOVNI ELEMENTI NUMERIČKE MATEMATIKEJacobieva matrica preslikavanja f. Jacobieva matrica kod sistema funkcija sa višepromenljivih predstavlja analogon prvom izvodu funkcije jedne promenljive.Iz (10) se za relativne promene neposredno dobija‖∆y‖ ∞‖y‖ ∞≤ ‖x‖ ∞‖∂f/∂x‖ ∞‖f(x)‖ ∞· ‖∆x‖ ∞‖x‖ ∞.Iako je ovo nejednakost, ona je tačna u smislu da jednakost može biti dostignuta zaneku podesnu promenu ∆x. Tako, možemo definisati globalni faktor uslovljenostisa(11) (condf)(x) := ‖x‖ ∞‖∂f/∂x‖ ∞‖f(x)‖ ∞.Jasno je da se u slučaju m = n = 1, definicija (11) svodi na definiciju (4) (kaoi na (7)) datu ranije. Za veće dimenzije (m i/ili n veće od 1), med¯utim, faktoruslovljenosti u (11) je mnogo grublji nego onaj u (7). To možemo objasniti timešto norme teže da unište “detalje”, Na primer, ako x ima komponente sa priličnorazličitim odstupanjima, onda je norma ‖x‖ ∞ naprosto jednaka najvećoj od ovihkomponenti uzetih po modulu, dok se sve ostale komponente ignorišu. Zbog togase zahteva opreznost kod korišćenja (11).Uslovljenost algoritma. Neka je za problem (1) dat algoritam A za njegovorešavanje na računaru, tj. za dati vektor x ∈ R m (t, s) algoritam A daje vektor y A(u aritmetici konačne dužine) za koji se pretpostavlja da aproksimira y = f(x).Tako, mi sada imamo drugo preslikavanje f A koje opisuje kako je izračunavanje frešeno algoritmom A,f A : R m (t, s) → R n (t, s),y A = f A (x).Da bismo mogli analizirati f A , u ovim opštim izrazima, moramo formulisati osnovnupretpostavku, naime,(12) (∀x ∈ R m (t, s))(∃x A ∈ R m ) (f A (x) = f(x A )).Zapravo, izračunato rešenje koje odgovara nekom ulazu x je tačno rešenje za nekirazličit ulaz x A (ne obavezno mašinski vektor i ne obavezno jedinstveno odred¯en)za koji se nadamo da je blizak sa x. Mi, dakle, definišemo faktor uslovljenosti algoritmaA pomoću izraza u kome figuriše vektor x A (najbliži vektoru x ako ih imaviše od jednog), upored¯ivanjem njegove relativne greške sa mašinskom preciznošćueps:ffi‖x(13) (condA)(x) = inf A − x‖eps .x A ‖x‖