Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

20 OSNOVNI ELEMENTI NUMERIČKE MATEMATIKEAko uporedimo nejednakosti (4) i (5), s obzirom na uslov b 2 ≫ 4ac, zaključujemoda možemo očekivati mnogo veću grešku pri izračunavanju po formuli(1), nego po formuli (2) pa je, dakle, formula (2), pri ovakvim uslovima, “tačnija”sa stanovišta izračunavanja u aritmetici konačne dužine na računskoj mašini.Do ovakvog zaključka smo mogli doći i logičkim razmatranjem formula (1) i(2). Naime, brojilac u formuli (1) je blizak nuli s obzirom da je b ≈ √ b 2 − 4ac(b 2 ≫ 4ac). To dalje znači da greška koja se javlja pri izračunavanju vrednosti√b 2 − 4ac izaziva veliku relativnu grešku brojioca, a dalje, i vrednosti x 1 . Uformuli (2) je to izbegnuto s obzirom da je u imeniocu formiran zbir b+ √ b 2 − 4ac,te greška pri izračunavanju vrednosti √ b 2 − 4ac ne izaziva veliku relativnu greškuimenioca s obzirom da je on relativno veliki. Dakle, možemo reći da u formuli (1)mala greška pri izračunavanju vrednosti √ b 2 − 4ac izaziva veliku grešku izlaznogrezultata x 1 . Za formulu (1) možemo kazati, rečnikom numeričke analize, da je“slabo uslovljena‘‘. Analogno, za formulu (2) kažemo da je “dobro uslovljena‘‘.2.1.8. Neka R l (l ∈ N) označava l-dimenzionalni (realni) vektorski prostor.Ako je zadat problem P pomoću preslikavanja f,(1) f : R m → R n , y = f(x),gde je ulaz dat u obliku vektora x ∈ R m , a izlaz u obliku vektora y ∈ R n ,analizirati rešavanje problema P pomoću računara (tj. u prisustvu aritmetikekonačne dužine) i proceniti granicu totalne greške dobijenog rešenja.Rešenje. Zadati problem P se može predstaviti “crnom kutijom” sa odgovarajućimulazom i izlazom u oblikux −→ P −→ y ,pri čemu P privhavata ulazni vektor x, rešava zadati problem i, najzad, dajerešenje u obliku vektora y.Analiziraćemo najpre kako će se mala promena ulaza (x) odraziti na promenuizlaza (y). Drugim rečima, pokušajmo da ustanovimo osetljivost preslikavanja f unekoj datoj tački x na male promene x. Stepen te osetljivosti iskazujemo jednimbrojem kojeg nazivamo faktor uslovljenosti ili kondicioni broj preslikavanja f utački x, u oznaci (condf)(x). Pri tome, za sada, pretpostavljamo da se funkcija fizračunava tačno, tj. sa beskonačnom preciznošću (aritmetika beskonačne dužine).Dakle, uslovljenost funkcije f je njeno lokalno svojstvo koje ne zavisi od algoritamakojim se ona realizuje (izračunava).Kako su koordinate prostora R l realni brojevi, za njihovo predstavljanje u memorijiračunara se obezbed¯uje deo prostora kako je to rečeno u zadataku 2.1.1.