Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

ALGEBARSKE JEDNAČINE 1495.3.3. Primenom Bernoullievog metoda naći par konjugovano kompleksnihdominantnih korena jednačine P(x) = x 3 − 3x 2 + 7x − 5 = 0.Rešenje. U slučaju kada algebarska jednačina P(x) = 0 ima par konjugovanokompleksnih dominantnih korena, x 1 = ρe iθ i x 2 = ρe −iθ , na osnovu Bernoullievogmetoda, jednačinu P(x) = 0 tretiramo kao karakterističnu jednačinu linearnehomogene diferencne jednačine reda m = dg(P) = 3, dakle,(1) y n+3 = 3y n+2 − 7y n+1 + 5y n .Polazeći od y 0 = y 1 = · · · = y m−2 = 0, y m−1 = 1, formiramo niz {y k } k∈N0 .Ranije definisani nizovi {u k } i {v k } (videti zadatak 5.3.2) u ovom slučaju divergiraju.Zato definišimo nove nizove {s k } i {t k } pomoćus k =y k y k+1˛ y k−1 y k˛˛˛˛ = yk 2 − y k−1 y k+1iza koje važit k =˛ yk+1 y k+2y k−1 y k˛˛˛˛ = y k+1 y k − y k−1 y k+2 ,slim k+1= ρ 2 ti lim k= ρ cos θ .k→+∞ s k k→+∞ 2s kDakle, na osnovu prethodnog, uzimajući y 0 = y 1 = 0, y 2 = 1 i korišćenjem (1)dobijamo niz{y k }={0, 0, 1, 3, 2, −10, −29, −7, 132, 300, −59, −1617, −2938, 2210, 1911, . . . }.Kako je s 12 = (−2938) 2 −(−1617) ·2210 = 12205414, s 13 = (2210) 2 −(−2938) ·19111 = 61032218, t 12 = 2210 · (−2938) − (−1617) · 1911 = 24409507, nalazimoa dalje jeρ 2 ∼ =s 13s 12∼ = 5.0004 , ρ cos θ ∼ =t 122s 12∼ = 0.9999 ,x 1 = ρ cos θ + i`ρ 2 − (ρcos θ) 2´1/2 ∼ = 0.9999 + i`5.0004 − (0.9999)2´1/2 ,tj. x 1∼ = 0.9999+2.0001 i, dok je x2 = ¯x 1 . Prmetimo da su tačne vrednosti korenax 1 = ¯x 2 = 1 + 2i.5.3.4. Odrediti sve korene algebarske jednačine P(x) = 0, gde jeP(x) = x 3 − 2x 2 − x + 2.Za početne aproksimacije korena uzeti x 1 (0)=−1.1, x 2 (0)=0.9, x 3 (0)=1.9.