Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

ITERATIVNI METODI U LINEARNOJ ALGEBRI 87Polazeći od x (0) = β = ˆ7 6.5 ˜⊤ , korišćenjem metoda (2) uz kriterijumzavršetka procesa ‖x (k) −x (k−1) ‖ ∞ ≤ 5 · 10 −3 , dobijamo sledeće iteracije (rezultatisu zaokruženi na tri decimale):(4)k x (k)1x (k)20 7 6.51 6.450 10.0552 5.274 10.1183 5.019 10.0254 4.996 10.0025 4.999 10.000S obzirom da je ‖B‖ ∞ = 0.55 < 1, važi ocena (videti [1, str. 270])‖x (k) − x‖ ∞ ≤‖B 2‖ ∞1 − ‖B‖ ∞‖x (k) − x (k−1) ‖ ∞ .S obzirom da su ‖B 2 ‖ ∞ = 0.5 i ‖x (5) −x (4) ‖ ∞ = 3 ·10 −3 , na osnovu prethodnenejednakosti, zaključujemo da je‖x (5) − x‖ ≤ 3 · 10 −3 .Inače, tačno rešenje sistema (1) je x = ˆ5 10 ˜⊤ .Upored¯ivanjem rezultata (4) sa odgovarajućim rezultatima iz zadatka 4.2.2,lako uočavamo da, u ovom slučaju, Gauss–Seidelov metod brže konvergira negometod proste iteracije, što je i najčešće slučaj. No mogući su i slučajevi gde metodproste iteracije konvergira, a Gauss–Seidelov ne, i obrnuto. Naravno, moguće su isituacije gde oba metoda ne konvergiraju.4.2.6. Dat je sistem linearnih jednačina(1)5x 1 − x 2 + x 3 + 3x 4 = 2,5x 2 + 2x 3 − x 4 = 0,x 1 − 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 4,x 1 − x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 10.Formirati Gauss–Seidelov metod (varijanta Nekrasova) i ispitati njegovukonvergenciju.Rešenje. Sistem (1) možemo napisati u matričnoj formiAx = b ,