Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

INTERPOLACIJA FUNKCIJA 201Dakle,H m (x) =nX»–y i 1 − ω′′ n(x i )ω n(x ′ i ) (x − x i) L 2 ni(x) +i=0nXy i(x ′ − x i )L 2 ni(x),i=0tj.H m (x) =nXi=0–ffjy i»1 − ω′′ n(x i )ω n(x ′ i ) (x − x i) + y i(x ′ − x i ) L 2 ni(x).6.1.33. Odrediti opšti oblik Hermiteovog interpolacionog polinoma zarealnu funkciju x ↦→ y = f(x) (x ∈ [a,b]), pri čemu su, u interpolacionimčvorovima x i , poznate vrednosti y (j)i= f (j) (x i ) (i = 0,1,... ,n; j =0,1,... ,α i − 1).Rešenje. Neka je zadat bazni sistem interpolacionih funkcijaϕ 0 (x),ϕ 1 (x), . . . , ϕ n (x), . . .na [a, b]. Odredimo takvu linearnu kombinaciju ovih funkcija(1) ϕ(x) =koja zadovoljava uslovemXc i ϕ i (x)i=0ϕ(x 0 ) = y 0 , ϕ ′ (x 0 ) = y ′ 0, . . . , ϕ (α 0−1) (x0 ) = y (α 0−1)0,ϕ(x 1 ) = y 1 , ϕ ′ (x 1 ) = y 1, ′ . . . , ϕ (α 1−1) (x1 ) = y (α 1−1)1,.ϕ(x n ) = y n ,ϕ ′ (x n ) = y ′ n, . . . , ϕ (α n−1) (xn ) = y (α n−1)n ,gde su y (j)ipoznate vrednosti, a x i ∈ [a, b] (i = 0,1, 2, . . . , n; x i ≠ x j pri i ≠ j).Kako je broj uslova koje namećemo funkciji ϕ(x) jednakα 0 + α 1 + · · · + α nda bi naš zadatak imao jedinstveno rešenje potrebno je dam = α 0 + α 1 + · · · + α n − 1