Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

232 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAAproksimacionu funkciju Φ predstavimo, sada, u oblikupri čemu jeΦ(x) =`x4 ,Φ k´(1) a k =(Φ k , Φ k )S obzirom da je” “x 4 , Φ 0 =” “x 4 , Φ 1 =” “x 4 , Φ 2 =(Φ 0 ,Φ 0 ) =(Φ 1 ,Φ 1 ) =(Φ 2 ,Φ 2 ) =Z 10Z 10Z 10Z 10Z 10Z 102Xa k Φ k ,k=0x 4 dx = 1 5 ,(k = 0,1, 2) .„x 4 x − 1 «dx = 1 2 15 ,„x 4 x 2 − x + 1 «dx = 16 105 ,dx = 1 ,„x − 1 2« 2dx = 1 12 ,„x 2 − x + 1 « 2dx = 16 180 ,na osnovu (1), imamo a 0 = 1 5 , a 1 = 4 5 , a 2 = 12 , pa je7Φ(x) = 1 5 + 4 „x − 1 «+ 12 „x 2 − x + 1 «= 1 “”60 x 2 − 32 x + 3 .5 2 7 6 356.2.13. Data je težinska funkcija p(x) = |x|(1 − x 2 ) na [−1,1].a) Konstruisati odgovarajući ortogonalni niz polinoma Q 0 ,... ,Q 4 .b) Za funkciju f(x) = 1 − |x| na [−1,1] naći srednje-kvadratnu aproksimacijusa datom težinskom funkcijom u skupu polinoma ne većeg stepenaod četiri.Rešenje. a) Polazeći od prirodnog bazisa ˘1, x, x 2 , x 3 , x 4¯ i korišćenjem Gram-Schmidtovog postupka ortogonalizacije nalazimo tražene ortogonalne polinomeQ 0 (x) = 1, Q 1 (x) = x, Q 2 (x) = x 2 − 1 3 , Q 3(x) = x 3 − 1 2 x,Q 4 (x) = x 4 − 4 5 x2 + 1 10 .