Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

120 NELINEARNE JEDNAČINE I SISTEMITako dobijamoF(x) − a = e − 2f(x)f ′ (x)= e −"e − 1 2"1 +s11 − 2f(x)f ′′ (x)f ′2 (x)f ′′f ′ e2 + 1 f ′′ 22 f ′ 2 − 1 f ′′′3f ′′f ′ e + 1 2× 1 + 1 2»= e − e + 1 f ′′′6 f ′ e 3 + O(e 4 )f ′′′f ′ − 1 2–= − 1 6f ′ !f ′′ 2f ′ 2e 3 + O(e 4 )!#e 2 + O(e 3 )f ′′′f ′ e 3 + O(e 4 ).Dakle, ovim smo dobili da je red konvergencije datog iterativnog procesa r = 3,a asimptotska konstanta greške (faktor konvergencije)C 3 = 1 f ′′′ (a)6 ˛ f ′ (a) ˛ .5.1.15. Odrediti red konvergencije i asimptotsku konstantu greške iterativnogprocesax k+1 = x k −f(x k )/f ′ (x k )[1 − f(x k )f ′′ (x k )/f ′2 (x k )] 1/2 ,koji se koristi za nalaženje prostog korena a jednačine f(x) = 0.Rešenje. Neka je e = x − a. Jedan od načina za rešavanje ovog zadatka jekorišćenje razvoja 13) :ff(a) + f ′ (a)e + 1f ′ = 2 f ′′ (a)e 2 + 1 6 f ′′′ (a)e 3 + O(e 4 )f ′ (a) + f ′′ (a)e + 1 2 f ′′′ (a)e 2 + O(e 3 )f ′′f ′′′e + 1 2 f=′ e2 + 1 6 f ′ e3 + O(e 4 )1 + f ′′f ′ e + 1 f ′′′2 f ′ e2 + O(e 3 )„= e + 1 f ′′2 f ′ e2 + 1 f ′′′«6 f ′ e3 + O(e 4 ) · 1 − f ′′f ′ e − 1 2!= e − 1 f ′′2 f ′ e2 + − 1 f ′′′3 f ′ + 1 f ′′ 2e 3 + O(e 4 ),2f ′ 2#!f ′′′f ′ e2 + f ′′ 2f ′ 2 + O(e3 )13) Drugi način je korišćenje izvoda (videti teoremu 2.1.2 i definiciju 2.1.2 [1, str. 188]).