Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

Literatura:PRIMENA BANACHOVOG STAVA 55S. Aljančić: Uvod u realnu i funkcionalnu analizu. Grad¯evinska knjiga, Beograd,1968.3.1.4. Korišćenjem Banachovog stava o nepokretnoj tački, diskutovatiegzistenciju lokalnog rešenja diferencijalne jednačine prvog reda(1)dxdt = g(t,x)sa početnim uslovom x(t 0 ) = x 0 , gde funkcija g(t,x) u pravougaonikuP = { (t,x) : |t − t 0 | ≤ a, |x − x 0 | ≤ b }ispunjava uslove:a) g(t,x) je neprekidna, što znači i |g(t,x)| ≤ M,b) |g(t,x 1 ) − g(t,x 2 )| ≤ K|x 1 − x 2 |.(Ovde, x(t) je nepoznata funkcija koju treba odrediti.)Rešenje. Pokazaćemo da pod navedenim pretpostavkama postoji (dovoljnomali) broj h > 0, takav da na segmentu [t 0 − h, t 0 + h] = ∆ postoji jedno isamo jedno rešenje diferencijalne jednačine (1) koje zadovoljava dati početni uslov(Picardov stav).Pre svega posmatranom problemu može se dati i ova formulacija: Pod navedenimpretpostavkama, postoji jedno i samo jedno rešenje integralne jednačineZ t(2) x(t) = x 0 + g[t, x(t)] dt.t 0Neka je broj h takav da je(3) h < 1 K i h ≤ min „a,«b.MUočimo prostor C ∆ funkcija neprekidnih na segmentu ∆ i u njemu onaj njegovdeo A za koji jemax |x(t) − x 0 | ≤ b.tS obzirom na metriku u C ∆ , skup A je zatvoren, jer se sastoji iz tačaka zatvorenekugle K[x 0 , b].Neka je preslikavanje y = f(x), x ∈ A ⊂ C ∆ , definisano saZ t(4) y(t) = x 0 + g[t, x(t)] dt.t 0