Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

NELINEARNE JEDNAČINE 111gde je p dati parametar. Odrediti red konvergencije i asimptotsku konstantugreške iterativnog procesa (1).Rešenje. Posmatrajmo jednačinu(2) F(x) = 0 ,gde jeF(x) = x p f(x),koja takod¯e ima prost koren za x = a. Primenom Newtonovog metoda na jednačinu(2) dobijamox k+1 = x k − F(x k)F ′ (x k ) ,tj.x k+1 = x k„1 −«f(x k )x k f ′ (x k ) + p f(x k )što je ekvivalentno sa (1).Sada, s obzirom da za Newtonov metod važi(videti [1, str. 340]), imamoxlim k+1 − ak→+∞ (x k − a) 2 = F ′′ (a)2F ′ (a)xlim k+1 − ak→+∞ (x k − a) 2 = p a + f ′′ (a)2f ′ (a) ,pa je dakle red konvergencije procesa (1) najmanje dva i asimptotska konstantapgreške C 2 =˛a + f ′′ (a)2f ′ ˛(a) ˛.Specijalan slučaj metoda (1), za p = 1 − n, poznat je kao metod Tihonova, uslučaju kada je f algebarski polinom stepena n.Literatura:L.N. D¯ ord¯ević: An iterative solution of algebraic equations with a parametertoaccelerate convergence. Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat.Fiz. No 412 – No 460( 1973), 179–182.O.N. Tihonov: O bystrom vyčislenij najbolših kornej mnogočlena. Zap. Leningr.gorn. in-ta 48, 3 (1968), 36–41.