Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

NUMERIČKA INTEGRACIJA 309Kako je‖Q 2 ‖ 2 = C 4 − 6 C 3 + 21 2 C 2 − 9 2 C 1 + 9 16 C 0 = 3 2√ πjednostavno nalazimo ostatak u kvadraturnoj formuli, u klasi C 4 [0, +∞](1) R 2 (f) =3 √ π2f (4) (ξ) =4!√ π16 f(4) (ξ) (0 < ξ < +∞) .Primetimo da u poslednjem slučaju imamo Gauss–Laguerreovu kvadraturnuformulu (videti [2, str. 175]) za n = 2. Kako je p(x) = x −1/2 e −x , zaključujemo dasu x k (k = 1,2) nule generalisanog Laguerreovog polinoma L −1/22(x). Na osnovuRodriguesove formule (videti [4, str. 52])L s n(x) = x −s e x d ndx n `xn+s e−x´,za n = 2 i s = −1/2, nalazimo L −1/2 (x) = x 2 − 3x + 3/4, što se poklapa sapolinomom Q 2 (x).Na osnovu formule ([2, str. 175])imamoi sličnoA 1 =A k =Opšti oblik za ostatak jeR n (f) =n!Γ(n + s + 1)„ « (k = 1, . . . , n)dx kdx Ls n(x k )„2Γ 3 − 1 «21 √ √ =`3 + 6´ `3 + 6 − 3´22A 2 =√ π √ `3 + 6´.6n!Γ(n + s + 1)f (2n) (ξ)(2n)!Za n = 2 i s = −1/2 dobijamo ostatak dat pomoću (1).√ π √ `3 − 6´6(0 < ξ < +∞).7.2.21. Odrediti A k , x k (k = 1,2,3) i ostatak R 3 (f) u Gauss-Hermiteovojformuli(1)∫ +∞−∞e −a2 x 2 f(x)dx =3∑A k f(x k ) + R 3 (f) (a > 0).k=1