Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

NUMERIČKO DIFERENCIRANJE 263Formirajmo sada, na osnovu skupa podataka datog zadatkom, tablicu konačnihrazlika operatora ∆:Na osnovu formule (2), uzimajući x = x 2 = 1.4, tj. p = (x 2 − x 0 )/h = 2, ikorišćenjem tablice konačnih razlika, imamo(1.4) f ′ (1.4) ∼ = P 4(1.4)= ′ 1 „0.1889 + 3 0.1 2 0.0170 + 1 3 0.0021 − 1 «12 0.0001 ∼= 2.1509,dok je na osnovu formule (3)(5) f ′′ (1.4) ∼ = P ′′4 (1.4) = 1(0.1) 2 „0.0170 + 0.0021 − 1 12 0.0001 «∼ = 1.9092 .Upored¯ivanjem dobijenih rezultata sa tačnim, uočavamo da greška raste sa povećanjemreda izvoda.Primetimo da smo u formulama (2) i (3) koristili sve ,,raspoložive informacije‘‘o datoj funkciji.Postupimo sada na jedan drugačiji način uzimajući da su x 0 = 1.4, x 1 = 1.5 ix 2 = 1.6. Izvodi odgovarajućeg interpolacionog polinoma Q 3 (x) su sadaQ ′ 3(x) = 1 h„∆f 0 + 2p − 1 «∆ 2 f 02i Q ′′3(x) = 1 h 2 ∆2 f 0 .Kako je sada x = x 0 = 1.4, tj. p = 0, imamo (videti u tabeli vrednosti ispod linije)(6) f ′ (1.4) ∼ = Q ′ 3(1.4) = 1 „0.2250 − 1 «0.1 2 0.0213 = 2.1435 ,(7) f ′′ (1.4) ∼ = Q ′′3(1.4) = 1 0.0213 = 2.13 .(0.1) 2