Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

296 NUMERIČKO DIFERENCIRANJE I NUMERIČKA INEGRACIJAPosebno je interesantan je slučaj kada je n paran broj. Tada, na osnovu (8) i(11), dobijamo(12)A 0 = A n = 1n 2 − 1A k = A n−k = 4 nX ′′ 1 2mπkcosn 1 − 4m2 nm=0(k = 1, . . . , n/2) ,gde P ′′ označava da se prvi (m = 0) i poslednji (m = n) član sume uzimaju safaktorom 1/2.Literatura:C.W. Cleanshaw, A. R. Curtis: A method for integration on an automaticcomputer. Numer. Math. 2(1960), 197–205.7.2.13. Odrediti Peanoovo jezgro za kvadraturnu formulu (1) iz prethodnogzadatka, uzimajući n = 4.Rešenje. Na osnovu (1) i (12) za n = 4, iz prethodnog zadatka dobijamokvadraturnu formuluZ 1f(x)dx = 1−1 15 (f(−1) + f(1))+ 8 „ „ √ « „ √ ««2 2f − + f + 4 15 2 2 5 f(0)+R 5(f),koja ima algebarski stepen tačnosti p = 5. Za Peanoovo jezgro (videti [2, str. 152])dobijamo5!K 5 (t)=((1 − t)6− 1 „ √ « 5 „√ « 5)28 −6 15 2 − t + 12(0 − t) 5 2+ + 8+2 − t + (1 − t) 5 + ,+odakle je8>:(1 − t) 66(1 − t) 66„ √22 − t « 5− 1 15 (1 − t)5 „0 ≤ t ≤√2− 8 152− 1 „ √ « 215 (1 − t)5 2 ≤ t ≤ 1«,iK 5 (t) = K 5 (−t) (−1 ≤ t ≤ 0) .Primetimo da jezgro K 5 (t) menja znak na segmentu [−1, 1] jer je K 5 (0) > 0 iK 5 ( √ 2/2) < 0. Zbog toga ocena ostatka ove kvadraturne formule pomoću formule