Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

140 NELINEARNE JEDNAČINE I SISTEMIk x k y k k x k y k0 0.00000 0.00000 9 0.71889 0.137881 0.75000 −0.31250 10 0.71862 0.136922 0.79297 0.25684 11 0.71887 0.137003 0.68544 0.16048 12 0.71885 0.137184 0.71275 0.10112 13 0.71880 0.137115 0.72773 0.14304 14 0.71882 0.137096 0.71730 0.14289 15 0.71882 0.137117 0.71734 0.13395 16 0.71882 0.137118 0.71962 0.13684Isti problem rešićemo sada metodom Newton–Kantoroviča. Dakle, rešavamosistem nelinearnih jednačina:f 1 (x,y) ≡ 4y 2 + 20x + 4y − 15 = 0,f 2 (x,y) ≡ 4x 2 − 4y 2 + 8x − 20y − 5 = 0,čije rešenje leži u zatvorenoj pravougaonoj oblasti D = [0,0.8] × [−0.5, 0.5] ⊂ R 2 .Funkcije f 1 i f 2 imaju u R 2 , a dakle i u D neprekidne parcijalne izvode∂f 1∂x = 20, ∂f 1∂y = 8y + 4, ∂f 2∂x = 8x + 8, ∂f 2∂yi važi det (W(x, y)) ≠ 0. Sistem jednačina= −8y − 20,W(x k , y k )ˆx k+1 − x k y k+1 − y k˜⊤ = −f([xk y k ] ⊤ )za k = 0, 1, . . . ima oblik23∂f 1(7) 6∂x (x ∂fk, y k ) 1∂y (x k, y k ) " # " #xk+1 − x k f1 (x k , y k )74 ∂f 2∂x (x ∂fk, y k ) 2∂y (x 5= − .k, y k ) y k+1 − y k f 2 (x k , y k )Izaberimo startnu aproksimaciju x 0 = y 0 = 0. Zamenom k = 0 u (7) dobijamosistem linearnih jednačinačija determinanta je −432, a rešenje20(x 1 − x 0 ) + 4(y 1 − y 0 ) = 15,8(x 1 − x 0 ) − 20(y 1 − y 0 ) = 5,x 1 − x 0 = 0.74074, y 1 − y 0 = 0.04630.