Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

ITERATIVNI METODI U LINEARNOJ ALGEBRI 89Ovi, takozvani, spektralni uslovi za konvergenciju iterativnih procesa, i poredtoga što imaju snagu potrebnih i dovoljnih uslova, nepodesni su za praktičnu primenus obzirom da dovode do problema rešavanja algebarske jednačine(5) P(λ) = 0 .Na osnovu (4) je očigledno da sa povećanjem broja jednačina u sistemu koji rešavamo,raste i stepen algebarske jednačine. S druge strane, prema Abelovom stavu, algebarskajednačina (5) čiji je stepen n > 4 ne može se, u opštem slučaju, rešiti analitički(tj. pomoću radikala). Dakle, kod većih sistema bi trebalo rešavati jednačinu(5) numeričkim metodama (približno), što je problem za sebe, katkad komplikovanijiod primarnog problema rešavanja sistema linearnih jednačina. Med¯utim,rešavanje jednačine (5) se može izbeći jednom transformacijom o kojoj će sada bitireči.Dakle, posmatrajmo algebarsku jednačinu(6) P(λ) = p 0 λ n + p 1 λ n−1 + · · · + p n = 0i ispitajmo da li su njeni koreni po modulu manji od jedinice, tj. da li se nalazeunutar jediničnog kruga u λ–kompleksnoj ravni.Bilinearnom transformacijom(7) λ ↦→ z(λ) = λ + 1λ − 1 ,unutrašnjost jediničnog kruga u λ–kompleksnoj ravni se preslikava u poluravanRe {z} < 1 u z–kompleksnoj ravni (slika 1).Sl. 1.PAko iskoristimo transformaciju (7) za P(λ) iz (6), dobijamo„ « z + 1=z − 11(z − 1) n np 0 (z + 1) n + p 1 (z + 1) n−1 (z − 1) + · · · + p n (z − 1) no ,