Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

274 NUMERIČKO DIFERENCIRANJE I NUMERIČKA INEGRACIJANeka je |f (4) (ξ i )| ≤ M. Tada je, s obzirom na (1),|R i | ≤ 4Eh 2 + h2 M12 .Dobijena granica apsolutne greške zavisi od h, tj. ∆ = 4Eh 2 + h2 M. Iz uslova12d∆= 0 nalazimo optimalnu vrednost za hdhh = h opt = 4 r48EM = 4 r24M · 10−m+kpri kojoj granica ∆ dostiže minimalnu vrednost∆ min = 2rEM3 ,tj. tada je |R i | ≤ ∆ min .Na primer, ako za funkciju f(x) = √ x treba naći f ′′ (1) korišćenjem tablicevrednosti sa 6 značajnih cifara, optimalni korak jeh opt∼ =r24 · 1615· 10 −5 ∼ = 0.13jer su m = 6, k = 1, M ∼ = 1516 . Dalje smanjivanje koraka ispod h opt može dadovede do povećanja greške.7.2. Numerička integracija7.2.1. Odrediti koeficijente A 1 , A 2 , A 3 tako da je kvadraturna formula(1)∫ baf(x)dx = A 1 f(x 1 ) + A 2 f(x 2 ) + A 3 f(x 3 ) + R 3 (f)tačna za sve algebarske polinome stepena k ≤ 2, ako je:1 ◦ (a,b) = (−1,1), x 1 = −1, x 2 = − 1 3 , x 3 = 1 3 ;2 ◦ (a,b) = (−1,1), x 1 = −√35 , x 2 = 0, x 3 =√35 ;