Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

214 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAodakle je C 1 = 15 „ « 212π 2 π 2 − 1 ∼= 0.85698, C 3 = 35 „2π 4 1 − 15 «∼=π 2 −0.09339.Dakle, aproksimaciona funkcija je data saΦ(x) ∼ = 0.85698 x − 0.09339 x 3 .Veličina najbolje aproksimacije jeZ π„‖δ 3 ‖ 2 2 = sin x − 15 „ « 212π 2 π 2 − 1 x − 35 „2π 4 1 − 15 « « 2π 2 x 3 dx ∼ = 0.0088 ,−πšto se dobija posle dosta zametnog posla.Postavljeni problem možemo rešiti i na drugi način. Uvedimo transformacijux = π tkoja prevodi segment [−π, π] po x, na segment [−1, 1] po t.Izvršimo sada srednje-kvadratnu aproksimaciju funkcije t ↦→ F(t) = f(πt) =sin πt na segmentu [−1, 1] (p(πt) = 1), aproksimacionom funkcijomϕ(t) =3Xa n P n (t) ,n=0gde su P n Legendreovi polinomi koji su ortogonalni na segmentu [−1, 1] sa težinomt ↦→ p(t) = 1. S obzirom na tu činjenicu, koeficijente a n odred¯ujemo na osnovu(1) a n = (F, P n)(P n , P n )n = 0,1, 2,3,(videti [2, str. 94]), gde je skalarni proizvod u prostoru L 2 (−1,1) definisan saKako je(f, g) =Z 1−1(P n , P n ) = ‖P n ‖ 2 =(videti [4, str. 21]), na osnovu (1) imamoa 0 = 1 2Z 1−1a 2 = 5 2a 3 = 7 2f(t) g(t) dt (f, g ∈ L 2 (−1,1)) .22n + 1sin πt dt = 0 , a 1 = 3 2Z 1−1Z 1−1(n = 0, 1, . . .),Z 1−11“ ”3t 2 − 1 sin πt dt = 0 ,21“ ”5t 3 − 3t sin πt dt = 7 2πtsin πt dt = 3 π ,„1 − 15π 2 «,