Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

240 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAFormirajmo polinom Q ∗ n(x), na taj način što u razvoju (3) ,,ukinemo‘‘ polinomP 5 . Tada je, s obzirom da Legendreovi polinomi zadovoljavaju nejednakost|P n (x)| ≤ 1 (|x| ≤ 1),|P(x) − Q ∗ 4(x)| ≤ 4 < 0.05 (|x| ≤ 1) .189S obzirom da je granica greške manja od 0.05, formirajmo polinom Q ∗ 3 (x) takošto u razvoju (3) ,,ukinemo‘‘ polinome P 4 i P 5 , pri čemu je|P(x) − Q ∗ 3(x)| ≤ 4189 + 8 > 0.05 (|x| ≤ 1) .175Kako je u ovom slučaju greška od 0.05, prema našoj oceni, premašena, za traženipolinom ćemo uzeti(4)Q ∗ 4(x) = 259225 P 0 + 101140 P 1 + 106315 P 2 + 47270 P 3 + 8175 P 4= 1 + 2963 x + 1 3 x2 + 47108 x3 + 1 5 x4 .Napomenimo da polinom Q ∗ 4, definisan u (4), prestavlja najbolju srednje-kvadratnuaproksimaciju za polinom P(x), na segmentu [−1, 1], u skupu polinomastepena ne višeg od četiri (slično se dokazuje kao u [2, str. 106]).6.2.17. Funkciju x ↦→ y = sin x aproksimirati polinomom trećeg stepenasa tačnošću ε = 0.0006 na intervalu [−1,1].Rešenje. Ako funkciju x ↦→ y = sin x aproksimiramo Macclaurinovim polinomomsedmog stepena, tj.činimo greškusin x ∼ = P 7 (x) = x 1! − x33! + x55! − x77! ,| sin x − P 7 (x)| ≤ 1 9!< 0.000003 (x ∈ [−1, 1]).Dalje, aproksimirajmo polinom P 7 (x) polinomom trećeg stepena postupkomekonomizacije uz korišćenje Čebiševljevih polinoma T n(x) (n = 0,1, . . . ,7) (videtizadatak 6.2.16). Tako, imamoP 7 (x) = 1 1! T 1 − 1 3! · 14 (3T 1 + T 3 ) + 1 5! · 116 (10T 1 + 5T 3 + T 5 )− 1 7! · 164 (35T 1 + 21T 3 + 7T 5 + T 7 ),