Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

356 PRIBLIŽNO REŠAVANJE OBIČNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINAili, ako uvedemo smenu a = ¯h12 ,π`r, ¯h´ = (1 − 5a)r 3 − (1 + 7a)r 2 + (1 − 7a) r − (1 + 5a) .Imajući u vidu postupak u zadatku 8.2.7, smenom r = 1 + z1 − z dobijamo„ «P(z) = (1 − z) 3 1 + zπ1 − z , ¯h = 4z 3 − 4 3 ¯h z 2 + 4z − 2¯h .Polinom P(z) je Hurwitzov ako i samo ako važi4 > 0 , − 4 3 ¯h > 0 ,„− 4 «3 ¯h · 4 − (−2¯h) · 4 > 0 , (−2¯h) > 0 ,što nije istovremeno zadovoljeno ni za jedno ¯h, pa metod, dat zadatkom, nemainterval apsolutne stabilnosti.d) S obzirom da je metod konvergentan (∀x ∈ [x 0 , b], limh→0x−x 0 =nhy n = y(x)),uzimanjem dovoljno malog koraka h u primeni metoda na neki Cauchyev problem,numerička vrednost rešenja će biti približno jednaka tačnoj vrednosti (ukoliko je hmanje, utoliko je numeričko rešenje tačnije). No, nepostojanje intervala apsolutnestabilnosti nam nagoveštava da će apsolutna greška (e n = |y(x n ) − y n |) da rastesa porastom n (x n = x 0 + nh).8.2.9. Neka su prediktor P i korektori C (1) i C (2) definisani pomoću svojihkarakterističnih polinoma i to:C (2) : ρ 2 (ξ) = ξ 3 − 9 8 ξ2 + 1 8 , σ 2 (ξ) = 3 ξ8( 3 + 2ξ 2 − ξ ) .P : ρ ∗ (ξ) = ξ 4 − 1, σ ∗ (ξ) = 4 (2ξ 3 − ξ 2 + 2ξ ) ,3C (1) : ρ 1 (ξ) = ξ 2 − 1, σ 1 (ξ) = 1 ξ3( 2 + 4ξ + 1 ) ,Korišćenjem Milneove šeme naći izraz za ocenu glavnog člana lokalne greškeodsecanja prediktor-korektor metoda (tipa P(EC) m ili P(EC) m E) i formiratiprediktor-korektor metod korišćenjema) P i C (1) u tipu PECE;b) P i C (2) u tipu PMECME.