Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

METODI RUNGE-KUTTA 367Metodi Runge-Kutta se formalno generališu na vektorski oblik i služe za rešavanjeCauchyevog problema (3), pa u slučaju metoda (1) datog zadatkom imamoy n+1 − y n = h 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ),k 1 = f(x n ,y n ),(4)k 2 = f(x n + h 2 ,y n + h 2 k 1),k 3 = f(x n + h 2 ,y n + h 2 k 2),k 4 = f(x n + h,y n + hk 3 ).Ako Cauchyev problem (2) predstavimo u vektorskom obliku (3), tada je2(5) y = 4 y 3 25 , y 0 = 4 1/3325 , f(x,y) = 4 f 3 21(x, y, z)5 = 4 xyz35 ,z 1f 2 (x, y, z) xy/za metod Runge-Kutta (4) u ovom slučaju je dat sa24 y 3 2n+15 − 4 y 3 02n5 = h @ 4 k 3 215 + 2 4 k 3 225 + 2 4 k 3 235 + 4 k 3145A ,6z n+1 z n l 1 l 2 l 3 l 42k 1 = 4 k 3 215 = 4 f 31(x n , y n , z n )5 ,l 1 f 2 (x n , y n , z n )(6)22k 2 = 4 k 32f 1“x n + h5 = 6 2 , y n + h 2 k 1, z n + h ” 32 l 174l 2 f 2“x n + h 2 , y n + h 2 k 1, z n + h ” 5 ,2 l 122k 3 = 4 k 33f 1“x n + h5 = 6 2 , y n + h 2 k 2, z n + h ” 32 l 274l 3 f 2“x n + h 2 , y n + h 2 k 2, z n + h ” 5 ,2 l 22k 4 = 4 k 3 245 = 4 f 31(x n + h, y n + hk 3 , z n + hl 3 )5 .l 4 f 2 (x n + h, y n + hk 3 , z n + hl 3 )