Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

208 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAk 0 1 2 3x k 1 3 5 7f k 1 3 7 15Rešenje. Funkcija f data na skupu ekvidistantnih tačaka parovima(x k , f k ) k=0,1,...,2n−1 ,pri čemu je f k = f(x k ), x k − x k−1 = h = const, može se interpolirati Pronyevomfunkcijom“ x − x0”(1) F(x) = Φh“ x − x0”= C 1 Φ 1h“ x − x0”+ · · · + C n Φ n ,hgde su Φ 1 , . . . ,Φ n partikularna rešenja linearne diferencne jednačine n-tog redaΦ(k + n) + a n Φ(k + n − 1) + · · · + a 2 Φ(k + 1) + a 1 Φ(k) = 0 ,a koeficijenti a 1 , . . . , a n su rešenja sistema linaernih jednačina(2) f k a 1 + f k+1 a 2 + · · · + f k+n−1 a n = −f k+n (k = 0,1, . . . , n − 1).Konstante C 1 , . . . , C n se mogu odrediti, na primer, iz sistema linearnih jedačina(videti [2, str. 86–88]).C 1 Φ 1 (k) + · · · + C n Φ n (k) = f k (k = 0, 1, . . . , n − 1) ,Oblik partikularnih rešenja Φ 1 , . . . , Φ n zavisi od korena karakteristične jednačine(3) r n + a n r n−1 + · · · + a 2 r + a 1 = 0 .Vratimo se sada konkretnom zadatku.S obzirom da su zadatkom date četiri tačke (n = 2), stavljajućix−1= k, interpolaciona funkcija (1) postaje2(4) Φ(k) = C 1 Φ 1 (k) + C 2 Φ 2 (k),x−x 0h=gde funkcije Φ i (i = 1,2) odred¯ujemo na osnovu korena karakteristične jednačine(3), tj.(5) r 2 + a 2 r + a 1 = 0 .