Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

PROBLEM NAJBOLJIH APROKSIMACIJA 2536.2.27. U skupu P 2 , algebarskih polinoma ne višeg stepena od drugog,naći najbolju mini-max aproksimaciju za funkciju x ↦→ f(x) = 1 na segmentu[−1,1]. Odrediti veličinu najbolje aproksimacije (maksimalno odstu-1 + x2 panje).Rešenje. Za odred¯ivanje koeficijenata polinoma najbolje mini-max aproksimacijeP ∗ 2 (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 , na osnovu teoreme o Čebiševljevoj alternansi(videti [2, str. 118–119]), potrebno je naći n + 2 = 4 (n = dg P ∗ 2 ) tačke x 0 , x 1 , x 2 ,x 3 takve da je(1) δ ∗ 2(x 0 ) = −δ ∗ 2(x 1 ) = δ ∗ 2(x 2 ) = −δ ∗ 2(x 3 ) = ±∆ ,gde suδ ∗ 2(x) = 11 + x 2 − P ∗ 2 (x), ∆ = ‖δ ∗ 2‖ ∞ = max|x|≤1 |δ∗ 2(x)| .Zbog simetrije problema može se uzeti a 1 = 0, a za tačke x k (k = 0,1, 2,3), naprimer, x 0 = −t, x 1 = 0, x 2 = t, x 3 = 1, gde je t (0 < t < 1) tačka u kojoj δ ∗ 2dostiže ekstremnu vrednost. Dakle, t je pozitivan koren jednačine(2)d 2tdt δ∗ 2(t) = −(1 + t 2 ) 2 − 2a 2t = 0 .Kako je, na osnovu (1),−(1 − a 0 ) = 1„ «1 + t 2 − a 0 − a 2 t 2 1= −2 − a 0 − a 2 ,lako nalazimo a 2 = − 1 2 , a dalje iz (2) sleduje t2 = √ 2 − 1 pa je a 0 = 1 + 2√ 2.4Prema tomeP2 ∗ (x) = 1 + 2√ 2− 1 4 2 x2 .Veličinu maksimalnog odstupanja (koje je minimalno u skupu algebarskih polinomane višeg stepena od drugog) možemo odrediti, na primer, na sledeći način‖δ2‖ ∗ ∞ = max|x|≤1 |δ∗ 2(x)| = |δ2(x)| ∗ x=0 = 3 − 2√ 2.46.2.28. Naći najbolju Čebiševljevu mini-max aproksimaciju za funkcijux ↦→ f(x) = 0 na intervalu [−1,1], pomoću funkcije oblika P 2 (x) = ax 2 +bx + 1 (a,b ∈ R).