Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

326 NUMERIČKO DIFERENCIRANJE I NUMERIČKA INEGRACIJAPrva tri člana ortogonalnog niza suV 0 (x) = 1, V 1 (x) = 2x − 1, V 2 (x) = 4x 2 − 2x − 1,a njihova tročlana rekurentna relacija je ista kao i kod polinoma W k (x), tj.V k+1 (x) = 2xV k (x) − V k−1 (x), k = 1, 2, . . . .Primetimo da važi W k (−x) = (−1) k V k (x).(1)7.2.30. Odrediti parametre kvadraturne formule oblika∫ 1−1(f(x)dx ∼ = A 1 f(x 1 ) + A 2 f(x 2 ) + A 3 f −√55)+ A 4 ftako da ona ima maksimalno mogući algebarski stepen tačnosti.(√ )5,5Rešenje. Izjednačavajući levu i desnu stranu u (1), kada se monomi 1, x, x 2 ,x 3 , x 4 , x 5 uzimaju redom umesto funkcije f(x), dolazimo do sistema nelinearnihjednačina8(2)A 1 + A 2 + A 3 + A 4 = 2,√5A 1 x 1 + A 2 x 2 −5 A 3 +√55 A 4 = 0,A >< 1 x 2 1 + A 2 x 2 2 + 1 5 A 3 + 1 5 A 4 = 2 3 ,√ √A 1 x 3 1 + A 2 x 3 5 52 −25 A 3 +25 A 4 = 0,A 1 x 4 1 + A 2 x 4 2 + 1 25 A 3 + 1 25 A 4 = 2 5 ,√ √>: A 1 x 5 1 + A 2 x 5 5 52 −125 A 3 +125 A 4 = 0.Da bismo rešili ovaj sistem, uvodimo pomoćnu funkciju ω pomoću„ √ «„ √ « 5 5ω(x) = (x − x 1 )(x − x 2 ) x + x −5 5= x 4 + C 3 x 3 + C 2 x 2 + C 1 x + C 0 .Množenjem prvih pet jednačina sistema (2) redom sa C 0 , C 1 , C 2 , C 3 , 1 i njihovimsabiranjem dobijamo„ √ « „ √ «5 5A 1 ω(x 1 ) + A 2 ω(x 2 ) + A 3 ω − + A 4 ω = 2C 0 + 2 5 5 3 C 2 + 2 5 .