Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

366 PRIBLIŽNO REŠAVANJE OBIČNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINAU poslednjoj koloni tabele date su približne vrednosti tačnog rešenja y(x) =e x2 + x ovog test problema, za x = x n .8.3.3. Standardni metod Runge-Kutta četvrtog reday n+1 − y n = h 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ),k 1 = f(x n ,y n ),(1)k 2 = f(x n + h 2 ,y n + h 2 k 1),k 3 = f(x n + h 2 ,y n + h 2 k 2),k 4 = f(x n + h,y n + hk 3 ),za rešavanje Cauchyevog problema prvog reda y ′ = f(x,y), y(x 0 ) = y 0 , generalisatina vektorski oblik pa ga primeniti na rešavanje Cauchyevog problemaza sistem jednačina prvog reda(2)y ′ = xyz, y(1) = 1 3 ,z ′ = xy , z(1) = 1,zna segmentu [1, 2.5] uzimajući za korak integracije h = 0.01, a tabeliratirešenje u tačkama x k = 1 + 0.1 · k, k = 0,1,... ,15.Rešenje. Cauchyev problem za sistem od m diferencijalnih jednačina prvogreday ′ i = f i (x;y 1 , . . . , y m ), y i (x 0 ) = y i0 (i = 1, . . . , m)može se predstaviti u vektorskom obliku(3) y ′ = f(x,y), y(x 0 ) = y 0 ,gde suy =2643y 1...y m75 , y 0 =2643y 10. .y m075 , f(x,y) =23f 1 (x; y 1 , . . . , y m )6745 ..f m (x; y 1 , . . . , y m )Primetimo da se Cauchyev problem za diferencijalnu jednačinu m-tog reda možeprevesti na Cauchyev problem za sistem od m diferencijalnih jednačina prvog reda(videti zadatak 8.1.5).