Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

ANALIZA GREŠAKA, REKURZIVNA IZRAČUNAVANJA I SUMIRANJA 33Procedura se može formulisati u sledećem obliku: Za zadatu relativnu tačnostε, izabrati ν kao najmanji prirodan broj koji zadovoljava (7), a onda računati(8) I ν = 0, I k−1 = 1 5„ 1k − I k«, k = ν, ν − 1, . . . , n + 1.Dakle, ova procedura obezbed¯uje odred¯ivanje I n , koje dovoljno tačno aproksimiraI n . Štaviše, prisutne greške zaokrugljivanja tokom izvršavanja (8) biće stalnosmanjivane.2.1.12. Ispitati uslovljenost algoritma za množenje n realnih brojeva kojisu zadati tačno i mašinski su reprezentabilni na računskoj mašini.Rešenje. Neka su x i (i = 1, . . . , n) brojevi koje treba pomnožiti. Uvedimooznaku x = [x 1 x 2 . . . x n ] ⊤ ∈ R n .Matematički posmatrano (sva izračunavanja se izvode apsolutno tačno), imamoproblem koji bi se mogao interpretirati kao preslikavanje(1) f : R n → R, y = f(x) = x 1 x 2 · · · x n ,i ono bi se moglo, na primer, realizovati na sledeći način:(2)p 1 = x 1 ,A : p k = x k p k−1 , k = 2,3, . . . , n,y = p n .Pri izračunavanju na računaru po istom algoritmu (2), situacija je nešto drugojačija.Prema uslovu u zadatku, brojevi x i (i = 1, . . . , n) su mašinski reprezentabilnibrojevi, tj. x i ∈ R(t, s) (i = 1, . . . , n) (videti zadatak 2.1.8). Med¯utim,s obzirom na konačnost broja cifara mantise svakog broja u računaru (t), poslesvake operacije množenja javlja se odgovarajuća mašinska greška (kao posledicezaokruživanja rezultata na t cifara mantise). Ove mašinske greške označimo sa r i(i = 2, . . . , n) i neka je |r i | ≤ eps, gde je eps mašinska preciznost (videti zadatak2.1.8).Dakle, korišćenjem istog algoritma (2), nećemo imati preslikavanje f, već preslikavanjef A , koje je definisano saf A : R n (t, s) → R(t, s),y A = f A (x)tj. primenom algoritma (2), na mesto p i (i = 2, . . . , n) dobijamo p i (i = 2, . . . , n),a na mesto y dobijamo y A , pri čemu je (ovde koristimo oznaku ⊙ za množenje