Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

ANALIZA GREŠAKA, REKURZIVNA IZRAČUNAVANJA I SUMIRANJA 31Rekurentna relacija (2), za bilo koju startnu vrednost I 0 , definiše funkciju(3) I n = f n (I 0 ).Tako smo dobili problem f n : R → R (n je parametar) koji možemo prikazati nasledeći način:I 0 −→ f n −→ In .Ovde smo zainteresovani za uslovljenost (videti zadatak 2.1.8) preslikavanja f nu tački I 0 . Zaista, s obzirom da broj I 0 iz (1) nije mašinski reprezentabilan, tomora biti zaokružen na I 0 pre startovanja rekurentnog procesa (2). Čak i kadane bi bilo unošenja novih grešaka tokom rekurentnog procesa (2), konačni rezultatneće biti tačno I n , već neka aproksimacija I n = f n (I 0 ) za koju imamo(4)˛ − I n˛InI n˛˛˛˛ = (condf n )(I 0 ) ˛ − I 0˛I0I 0˛˛˛˛ .Ovde važi jednakost s obzirom na linearnost funkcije f n po I 0 , kako je to napomenutoposle (3) u zadatku 2.1.8. Zaista, ako je n = 1, ondaAko je n = 2, tadaI 1 = f 1 (I 0 ) = −5I 0 + 1 .I 2 = f 2 (I 0 ) = −5I 1 + 1 2 = (−5)2 I 0 − 5 + 1 2 ,itd. Uopšte, imamoI n = f n (I 0 ) = (−5) n I 0 + p n ,gde je p n neki broj (nezavisan od I 0 ). Sada možemo lako zaključiti da je(5) (condf n )(I 0 ) =I 0 f ′ n(I 0 )˛ I n˛˛˛˛ =I 0 (−5) n˛˛˛˛˛ = I 0 · 5 n.I nIz definicije I n kao integrala jasno je da I n opada monotono po n (zapravo konvergiramonotono ka nuli kada n → +∞), pa dakle, vidimo da je f n (I 0 ) slabouslovljeno u odnosu na I 0 i to sve više što je n veće.Uočavamo da do stalnog uvećavanja greške u procecu izračunavanja, pomoćurekurentne formule (2), dolazi usled množenja sa (−5) u svakom koraku izračunavanja.I n