Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

350 PRIBLIŽNO REŠAVANJE OBIČNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA8.2.6. Dat je metody n+2 − (1 + a)y n+1 + ay n = h 12 [(5 + a)f n+2 + 8(1 − a)f n+1 + (1 + 5a)f n ] ,sa parametrom a, −1 ≤ a < 1.a) Dokazati da je interval apsolutne stabilnosti ovog metoda„ « 3 a + 1a relativne stabilnosti2 a − 1 , +∞ .„6 a+1a−1 , 0 «,b) Dati ilustraciju ponašanja metoda u vezi sa intervalima stabilnosti, uslučaju a = −0.75, na model problemuy ′ = −20y , y(0) = 1.Rešenje. Lako se može pokazati da je red metodaj 3, za a ≠ −1 ,p =4, za a = −1 .Prvi karakteristični polinom datog metoda jeρ(ξ) =2Xα i ξ i = ξ 2 − (1 + a)ξ + a = (ξ − 1)(ξ − a) ,i=0pa uslov, dat zadatkom, −1 ≤ a < 1, obezbed¯uje nula-stabilnost.Dakle, za −1 ≤ a < 1, s obzirom da je metod konzistentan i nula-stabilan, onje konvergentan.a) Polinom stabilnosti datog metoda jegde suπ `r, ¯h´ = ρ(r) − ¯h σ(r) = Ar 2 + Br + C ,A = 1 − ¯h“12 (5 + a), B = − 1 + a + 2 3 ¯h”(1 − a) , C = a + ¯h (1 + 5a),12a σ(r) drugi karakteristični polinom.Nule polinoma stabilnosti diktiraju interval apsolutne, tj. relativne stabilnosti(videti [3, str. 43–46]). Primetimo da je π(r,0) = ρ(r), pa se dakle za ¯h = 0, nula r ipolinoma stabilnosti poklapa sa nulom ξ i prvog karakterističnog polinoma. Može