Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

328 NUMERIČKO DIFERENCIRANJE I NUMERIČKA INEGRACIJARešavanjem poslednjeg sistema jednačina dobijamoA 1 = A 2 = 1 6 , A 3 = A 4 = 5 6 .7.2.31. Odrediti A i x k (k = 1,2,3,4) u kvadraturnoj formuli Čebiševljevogtipa∫ 1−1Rešenje. Ovde je|x| 1/2 f(x)dx ∼ = A(f(x 1 ) + f(x 2 ) + f(x 3 ) + f(x 4 )).A = 1 nZ bap(x)dx = 1 4Z 1−1|x| 1/2 dx = 1 2Z 1gde je n broj čvorova u formuli. Dalje, odred¯ujemo brojeveImamos m = 1 As 1 = 1 As 2 = 1 As 3 = 1 As 4 = 1 AZ 1−1Z 1−1Z 1−1Z 1−1Konstruišemo zatim funkcijuZ bap(x)x m dx, m = 1,2, . . . , n.|x| 1/2 x dx = 0,|x| 1/2 x 2 dx = 2 A|x| 1/2 x 3 dx = 0,|x| 1/2 x 4 dx = 2 AZ 10Z 100√ x dx =13 ,√ xx2 dx =127 ,√ xx4 dx =1211 .ω(x) = (x − x 1 )(x − x 2 )(x − x 3 )(x − x 4 ) = x 4 + a 1 x 3 + a 2 x 2 + a 3 x + a 4 ,gde koeficijente a 1 , a 2 , a 3 , a 4 odred¯ujemo iz sistema jednačina (videti [2, str. 193])s m + a 1 s m−1 + a 2 s m−2 + . . . + a m−1 s 1 + ma m = 0, m = 1,2, . . . , n,tj. iz sistemaa 1 = −s 1 ,a 1 s 1 + 2a 2 = −s 2 ,a 1 s 2 + a 2 s 1 + 3a 3 = −s 3 ,a 1 s 3 + a 2 s 2 + a 3 s 1 + 4a 4 = −s 4 ,