Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

VI G L A V APribližno rešavanje običnihdiferencijalnih jednačina8.1. Analitički metodi za rešavanje Cauchyevog problema8.1.1. Taylorovim metodom odrediti približno rešenje Cauchyevog problema(1) y ′ (x) = x 2 + y(x) 2 , y(0) = 1.Rešenje. S obzirom da je (x,y) ↦→ f(x, y) = x 2 +y 2 analitička funkcija u tački(0, 1), na osnovu teoreme 1.1.4 ([3, str. 9]) postoji jedinstveno rešenje x ↦→ y(x),koje je analitičko u tački x 0 = 0, Cauchyevog problema (1). Drugim rečima, y(x)ima u okolini x 0 = 0 izvode proizvoljnog reda, pa je(2) y(x) = y(0) + y′ (0)1!x + y′′ (0)2!x 2 + · · · .Na osnovu (1) možemo izračunati potrebne izvode y (i) (0) (i = 1,2, . . .). Naime,imamo redomy ′ = x 2 + y 2 , y ′ 0 = x 2 0 + y 2 0 = 1,y ′′ = 2x + 2yy ′ , y ′′0 = 2x 0 + 2y 0 y ′ 0 = 2,y ′′′ = 2 + 2yy ′′ + 2(y ′ ) 2 , y ′′′0 = 2 + 2y 0 y ′′0 + 2(y ′ 0) 2 = 8,y (4) = 2yy ′′′ + 6y ′ y ′′ , y (4)0= 2y 0 y ′′′0 + 6y ′ 0y ′′0 = 28,gde smo stavili y (i)0= y (i) (x 0 ) = y (i) (0).Zamenom dobijenih vrednosti u (2) dobijamotj.y(x) = 1 + x + 2 x22! + 8 x3 x4+ 283! 4! + · · · ,y(x) = 1 + x + x 2 + 4 3 x3 + 7 6 x4 + · · · .