Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

170 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAza k = 1, ... ,n, gde je x 0 < x 1 < ... < x n , ap i (x) = (x − x 0)(x − x 1 ) · · · (x − x i−1 )(x − x i+1 ) · · · (x − x n )(x i − x 0 )(x i − x 1 ) · · · (x i − x i−1 )(x i − x i+1 ) · · · (x i − x n ) .Rešenje. Neka je f(z) = (z − x) k , k = 1, . . . , n, tadaLagrangeov polinom za funkciju f(z) je:f(x i ) = (x i − x) k , k = 1, . . . , n.f(z) =nX(x i − x) k p i (z),i=0i to za svako z ∈ R (s obzirom da je f polinom stepena k ≤ n). Zamenom z = xiz poslednje formule dobijamof(x) = 0 =nX(x i − x) k p i (x).i=06.1.15. Odrediti čvorove x 1 ,x 2 , ..., x n (različiti realni ili kompleksnibrojevi) tako da pri zadatom a, vrednost izrazazap k (x) =bude najmanja.Rešenje. S obzirom da jeM = M(a) = maxk=1,...,n |p k(a)|,ω(x)ω ′ (x k )(x − x k ) , ω(x) = (x − x 1) · · · (x − x n ),nXp k (a) = 1,k=1zaključujemo da je M ≥ 1/n. Dalje, ako postoje čvorovi x 1 , x 2 , . . . , x n za kojevažip k (a) = 1 , k = 1, . . . , n,ntada je M = 1/n najmanje moguće.