Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

LINEARNI VIŠEKORAČNI METODI 341Upored¯ivanjem (1) i (3) za k = 3, imamoα 0 = −b , α 1 = b , α 2 = −1 , α 3 = 1 ,β 0 = 5 12 (1 + b), β 1 = − 2 3 (2 − b) , β 2 = 1 12 (23 − b) , β 3 = 0 .S obzirom da je β 3 = 0, metod je eksplicitnog tipa.Potrebni i dovoljni uslovi za konvergenciju linearnog višekoračnog metoda sukonzistencija i nula-stabilnost.Ispitajmo najpre konzistenciju. Kako je (videti [3, str. 22])C 0 = α 0 + α 1 + α 2 + α 3 = −b + b − 1 + 1 = 0 ,C 1 = α 1 + 2α 2 + 3α 3 − (β 0 + β 1 + β 2 + β 3 )» 5= b + 2 · (−1) + 3 · 1 −12 (1 + b) − 2 3 (2 − b) + 1 –12 (23 − b) + 0 = 0 ,zaključujemo da je red metoda p ≥ 1, tj. metod je konzistentan za svako b.Prvi karakterističan polinom, u ovom slučaju je dat saNule polinoma ρ suρ(ξ) =3Xα i ξ i = −b + bξ − ξ 2 + ξ 3i=0ξ 1 = 1 i ξ 2,3 == b (ξ − 1) + ξ 2 (ξ − 1)= (ξ − 1)`ξ 2 + b´.(±√−b (b ≤ 0)±i √ b (b > 0) .S obzirom da je linearni višekoračni metod nula-stabilan ako prvi karakterističnipolinom nema nula sa modulom većim od jedinice i ako su sve nule sa modulomjedan proste, uslov nula-stabilnosti se može iskazati kroz sledeća dva slučaja:1 ◦ Za b ≤ 0 je |ξ 2,3 | = | ± √ −b | = √ −b, pa zaključujemo da je −1 < b ≤ 0.Napomenimo da mogućnost b = −1 otpada. Naime, tada bismo imali ξ 1 =ξ 2 = 1 (dvostruka nula na jediničnom krugu).2 ◦ Za b > 0 imamo |ξ 2,3 = | ± i √ b | = √ b, odakle zaključujemo da je 0