Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

Kako jeNUMERIČKA INTEGRACIJA 315‖Q 3 ‖ 2 = R 3 (x 6 ) = π128 ,ostatak se u klasi funkcija C 6 [0,2] može predstaviti u oblikuR 3 (f) =π92160 f(6) (ξ) (0 < ξ < 2).7.2.25. Odrediti koeficijente kvadraturne formule∫ 1−1|x|(1 − x 2 )f(x)dx = A 1 f(−a) + A 2 f(0) + A 3 f(a) + R(f),gde je a ∈ (0,1) dati parametar, tako da je ona tačna bar za sve polinomestepena ne većeg od dva. Na osnovu dobijenog rezultata odrediti parametara, tako da formula ima maksimalno mogući algebarski stepen tačnosti. Zataj slučaj odrediti ostatak R(f) u formuli. Dobijenu formulu primeniti naizračunavanje integrala∫ 10x √ 1 − x 2 dx.Rešenje. Zamenom f(x) = 1, x, x 2 u datu kvadraturnu formulu dobijamo sistemjednačinaA 1 + A 2 + A 3 = 1 2 ,−aA 1 + aA 3 = 0,a 2 A 1 + a 2 A 3 = 1 6 ,za odred¯ivanje koeficijenata A i , i = 1, 2,3, tako da je kvadraturna formula tačnaza sve polinome stepena ne većeg od dva. Rešavanjem sistema dobijamoDakle, kvadraturna formula je oblikaZ 1−1A 1 = 112a 2 , A 2 = 3a2 − 16a 2 , A 3 = 112a 2 .|x|(1 − x 2 )f(x)dx = 112a 2 f(−a) + 3a2 − 16a 2 f(0) + 1 f(a) + R(f).12a2 Zamenom f(x) = x 3 , iz poslednje kvadraturne formule dobijamo R(x 3 ) = 0, štoznači da je ova formula tačna i za polinome stepena tri. Za f(x) = x 4 na isti način