Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

PROBLEM NAJBOLJIH APROKSIMACIJA 225Kako je(L n , L n ) = ‖L n ‖ 2 = (n!) 2 ,(videti [4, str. 49]), na osnovu (1) imamotj.(2) C n = 1 Z +∞(n!) 2s obzirom da je (videti [4, str. 45])C n = 1 Z +∞(n!) 2 e −x e −ax L n (x)dx,00e −ax d ndx n “x n e −x” dx,L n (x) = e x d ndx n “x n e −x” .Primenom parcijalne integracije n puta, pri čemu se uzima u = e −ax , dv =d n−k+1dx n−k+1 `xn e −x´ (k = 1,2, . . . , n), formula (2) postajeZ +∞(3) C n = an(n!) 2 e −(a+1)x x n dx.0Ako se na (3) opet primeni parcijalna integracija n puta, pri čemu se uzima u =x k (k = n, n − 1, . . . ,1), dv = e −(a+1)x dx, dobija seC n = an(n!) 2 ·Zn! +∞(a + 1) n e −(a+1)x dx = 1 n!Dakle, aproksimaciona funkcija Φ je data sa0„ « n a 1a + 1 a + 1 .Φ(x) = 1a + 1mXn=0„ a« n Ln (x)a + 1 n!(x ∈ (0,+∞)) .6.2.9. Za funkciju x ↦→ f(x) = xe x2 /4 naći najbolju srednje-kvadratnuaproksimaciju na intervalu (−∞,+∞) sa težinom x ↦→ p(x) = e −x2 , u skupupolinoma stepena ne višeg od m.Rešenje. Predstavimo aproksimacionu funkciju Φ u obliku(1) Φ(x) =mXC k H k (x),k=0