Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

318 NUMERIČKO DIFERENCIRANJE I NUMERIČKA INEGRACIJAa zatim približno izračunati∫ 10√1 + xdx.xRešenje. Polazeći od prirodnog bazisa {1, x, x 2 }, Gram–Schmidtovim postupkomortogonalizacije nalazimo polinome ortogonalne na (0,1), sa težinom x ↦→p(x) = 1/ p x(1 − x),Q 0 (x) = 1, Q 1 (x) = x − 1 2 , Q 2(x) = x 2 − x + 1 8 .Pri rešavanju odgovarajućih integrala koristili smo formuleB(p, q) =Z 10x p−1 (1 − x) q−1 dx,“ 1”Γ(1 + z) = z Γ(z), Γ = √ π.2B(p, q) =Γ(p) Γ(q)Γ(p + q) ,Čvorovi x k , k = 1,2, su nule ortogonalnog polinoma Q 2 , tj.x 1 = 1 2 + 12 √ 2 , x 2 = 1 2 − 12 √ 2 .Kako jea n = a n−1 = 1, Q ′ 2(x) = 2x − 1, ‖Q 1 ‖ 2 = π 8 ,to iz formuleA k = a na n−1‖Q n−1 ‖ 2Q n−1 (x k )Q ′ n(x k )(k = 1,2, . . . , n),za n = 2, nalazimoA 1 =‖Q 1 ‖ 2Q 1 (x 1 )Q ′ 2 (x 1) = π 2 , A 2 =Kako je ‖Q 2 ‖ 2 = π/128, iz formule‖Q 1 ‖ 2Q 1 (x 2 )Q ′ 2 (x 2) = π 2 .R(f) = ‖Q n‖ 2(2n)!a 2 f (2n) (ξ),nξ ∈ (a,b),za n = 2 dobijamoR(f) =π3072 f(4) (ξ), ξ ∈ (0,1).