Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

292 NUMERIČKO DIFERENCIRANJE I NUMERIČKA INEGRACIJARešenje. Simpsonovo pravilo 3/8 ima oblik (videti [2, str. 143])(1)Z x3x 0f(x)dx = 3h 8`f0 + 3f 1 + 3f 2 + f 3´−3h 580 f(4) (ξ 1 ) ,gde je x 0 < ξ 1 < x 3 , f k = f(x k ), h = (x 3 − x 0 )/3. U cilju dobijanja uopštenekvadraturne formule za segment [a, b] izvršimo podelu ovog segmenta na 3n podsegmenata,tako da je h = (b − a)/(3n), x k =a + kh, f k =f(x k ) (k=0, 1, . . . , 3n).Primenom formule (1) na svaki od podsegmenata [x 0 , x 3 ], [x 3 , x 6 ], . . ., [x 3n−3 , x 3n ]dobijamotj.Z baf(x)dx = 3h 8nX `f3i−3 + 3f 3i−2 + 3f 3i−1 + f 3i´+ R(f),i=1Z baf(x)dx = 3h 8nf 0 + 3ˆ(f 1 + f 2 ) + (f 4 + f 5 ) + · · · + (f 3n−2 + f 3n−1 )˜+ 2(f 3 + f 6 + · · · + f 3n−3 ) + f 3no+ R(f).Ako je f ∈ C 4 [a, b], ostatak možemo oceniti na sledeći način:R(f) =nXi=1« „− 3h580 f(4) (ξ i ) = − 3h580 n f(4) (ξ)ili(b − a)h4R(f) = − f (4) (b − a)5(ξ) = −806480 n 4 f(4) (ξ),gde je a < ξ < b.Na osnovu prethodnog vidimo da je ova formula znatno komplikovanija oduopštene Simpsonove formule, a da nije značajno tačnija od nje, zbog čega seuglavnom ne koristi.(1)7.2.11. Kako se kvadraturna formula∫ +∞−∞e −x2 f(x)dx ∼ =n∑A k f(x k )k=1može primeniti na izračunavanje vrednosti integrala(2) I =∫ +∞−∞e −at2 −bt−c g(t)dt (a > 0)?