Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

NUMERIČKA INTEGRACIJA 319Najzad, s obzirom na jednakostr1 + xxs1 − x=2x(1 − x) ,primenom dobijene kvadraturne formule na f(x) = √ 1 − x 2 , dobijamoZ 10r ss1 + xdxx∼ = π “ 11 −2 2 + 1 ” „ 22 √ π 1 + 1 −2 2 2 − 1 « 22 √ 2∼= 0.8184 + 1.5539 = 2.3723.7.2.28. Izvesti formulu za približnu integraciju(1)∫ 1−1√1 − x1 + x f(x)dx ∼ = 2πn + 1n∑sin 2 kπ(n + 1 f cos 2kπ ).n + 1k=1Rešenje. Neka je g(x) = f(2x 2 − 1). Dokazaćemo najpre jednakost(2)Z 1−1r1 − x1 + x f(x)dx = 2 Z 1−1p1 − x 2 g(x) dx.Ako uvedemo smenu x = 2t − 1 u integral na levoj strani dobijamo:Z 1−1r1 − x1 + x f(x)dx = 2 Z 10r2 − 2t2tf(2t − 1) dt = 2Z 10r1 − ttf(2t − 1) dt.Uvod¯enjem nove smene t = u 2 , poslednji integral se svodi na2Z 10r Z r1 − t11 − u 2f(2t − 1) dt = 4t0 u 2 f(2u 2 − 1)uduZ 1 p Z 1= 4 1 − u 2 f(2u 2 p− 1)du = 2 1 − u 2 f(2u 2 − 1) du.Dakle, dokazali smo da jeZ 1−1r1 − x1 + x f(x)dx = 2 Z 10−1−1p Z 11 − x 2 f(2x 2 p− 1) dx = 2 1 − x 2 g(x)dx.−1