Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

272 NUMERIČKO DIFERENCIRANJE I NUMERIČKA INEGRACIJAOčigledno je y ′′ = 0 za x ∈ (1.00, 1.25). Da bismo odredili približno tačku prevojakoristimo podatke iz prethodne tabele i primenjujemo inverznu Lagrangeovuinterpolaciju. Dakle,x ∗ = L 4 (y ′′ = 0) = 1.03.7.1.9. Koristeći formulu za numeričko diferenciranjey ′ (x 0 ) ≈ y(x 0 + h) − y(x 0 − h)2h= F(h),polovljenjem koraka h, izvesti formulu pomoću koje se izračunava y ′ (x 0 ) sagreškom reda h 6 , pretpostavljajući da je funkcija y diferencijabilna proizvoljanbroj puta.Rešenje. Kako jeF(h) =imamo=y(x 0 ) + hy ′ (x 0 ) + h2 y ′′ (x 0 )2!„+ · · · − y(x 0 ) − hy ′ (x 0 ) + h2 y ′′ (x 0 )2!2h2hy ′ (x 0 ) + h33 y′′′ (x 0 ) + h560 y(5) (x 0 ) + · · ·,2hy ′ (x 0 ) ≈ F(h) = y ′ (x 0 ) + h26 y′′′ (x 0 ) + h45! y(5) (x 0 ) + · · · .«+ · · ·Koristeći dobijeni rezultat, polovljenjem koraka, dolazimo do sistema jednačina zanalaženje y ′ 0F(h) − y ′ 0 = Ah 2 + O(h 4 ),“ h”F − y 0 ′ = A h22 4 + O(h4 ).Odred¯ivanjem konstante A iz poslednjeg sistema jednačina dolazimo do formuley ′ 0 =“ h”4F − F(h)23+ O(h 4 ),tj. y ′ 0 = F 1 (h) + O(h 4 ), gde jeF 1 (h) =“ h”4F − F(h)2.3