Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

202 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAiϕ 0 (x 0 ) ϕ 1 (x 0 ) . . . ϕ m (x 0 )ϕ˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛′ 0(x 0 ) ϕ ′ 1(x 0 ) ϕ ′ m(x 0 ).ϕ (α 0−1)0(x 0 ) ϕ (α 0−1)1(x 0 ) ϕ (α 0−1)m (x 0 )≠ 0.ϕ 0 (x 1 ) ϕ 1 (x 1 ) ϕ m (x 1 ).ϕ (α n−1)0(x n ) ϕ (α n−1)1(x n ) ϕ (α n−1)m (x n ) ˛Ako se ograničimo na slučaj kada je ϕ i (x) = x i , onda polinom (1) predstavljaHermiteov algebarski interpolacioni polinom za funkciju x ↦→ f(x) na intervalu[a, b].Odredimo sada opšti oblik Hermiteovog interpolacionog polinoma. U tu svrhuuvedimo polinome H ij (x) stepena ne višeg od m, koji zadovoljavaju sledeće uslove:H ij (x k ) = H ′ ij(x k ) = · · · = H (α k−1)ij(x k ) = 0, i ≠ k,H ij (x i ) = H ′ ij(x i ) = · · · = H (j−1)ijH (j)ij (x i) = 1 (i = 0,1, . . . , n; j = 0,1, . . . , α i − 1).(x i ) = H (j+1)ij(x i ) = · · · = H (α i−1)ij(x i ) = 0,Kako H ij ima nuleredom višestrukostix 0 , x 1 , . . . , x i−1 , x i+1 , . . . , x n ,a u tački x i nulu viěstrukosti j, to jeα 0 , α 1 , . . . , α i−1 , α i+1 , . . . , α n ,H ij (x) = (x − x 0 ) α 0(x − x 1 ) α1 · · · (x − x i−1 ) α i−1(x − x i ) j ×× (x − x i+1 ) α i+1· · · (x − x n ) α n e Hij (x),gde je e H ij (x) polinom stepena α i − j − 1, različit od nule za x = x i . Predstavimoga, zato, u oblikueH ij (x) = A (0)ij+ A (1)ij (x − x i) + · · · + A (α i−j−1)ij(x − x i ) α i−j−1 .Neka jeΩ(x) = (x − x 0 ) α 0(x − x 1 ) α1 · · · (x − x n ) α n,