Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

PROBLEM NAJBOLJIH APROKSIMACIJA 213Prema tome,(2) Φ(x) ∼ = −0.66444 x + 1.15847 .Primećujemo da su aproksimacione funkcije (1) i (2) različite, što je i logičnoako se ima u vidu da su one dobijene na osnovu različitih aproksimacionih zahteva.6.2.2. Naći najbolju srednje-kvadratnu aproksimaciju za funkciju x ↦→f(x) = sinx, na segmentu [−π, π] sa težinom x ↦→ p(x) = 1, u skupupolinoma stepena ne višeg od tri i izračunati veličinu najbolje aproksimacije.Rešenje. Predstavimo aproksimacionu funkciju u oblikuΦ(x) = C 0 + C 1 x + C 2 x 2 + C 3 x 3 .Na osnovu neparnosti funkcije x ↦→ sin x i simetrije segmenta na kome vršimoaproksimaciju, možemo zaključiti da je C 0 = C 2 = 0.Definišimo funkciju greške δ 3 (x) = f(x) − Φ(x) = sin x − C 1 x − C 3 x 3 . Najboljusrednje-kvadratnu aproksimaciju dobijamo minimizacijom kvadrata normefunkcije greškeI(C 1 , C 3 ) = ‖δ 3 ‖ 2 2 =Z π−π(sin x − C 1 x − C 3 x 3 ) 2 dx.Iz uslovaZ∂I π= −2∂C 1∂I∂C 3= −2−πZ π−π“x sin x − C 1 x − C 3 x 3” dx = 0 ,x 3 “ sin x − C 1 x − C 3 x 3” dx = 0 ,s obzirom da je1212Z π−πZ π−πx sin x dx =x 3 sin xdx =Z π0Z π0xsin xdx = π ,x 3 sin xdx = π 3 − 6π ,dobijamoπ 2C 13 + π 4C 35π 4C 15 + π 6C 37= 1 ,= π 2 − 6 ,