Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

148 NELINEARNE JEDNAČINE I SISTEMI5.3.2. Primenom Bernoullievog metoda odrediti realne i različite dominantnekorene x 1 i x 2 (x 1 = −x 2 ) jednačineP(x) = x 4 − 1.5x 3 − 3.5x 2 + 6x − 2 = 0.Rešenje. U slučaju kada su dominantni koreni realni i suprotni po znaku(jedan višestruk reda p, a drugi reda q), po Bernoullievom metodu treba postupitina sledeći način.Jednačinu P(x) = 0 tretiramo kao karakterističnu jednačinu linearne homogenediferencne jednačine reda m = dg(P) = 4, tj.iliy n+4 − 1.5 y n+3 − 3.5 y n+2 + 6 y n+1 − 2 y n = 0(1) y n+4 = 1.5 y n+3 + 3.5 y n+2 − 6 y n+1 + 2 y n .Na osnovu (1), uz početne uslove y 0 = y 1 = · · · = y m−2 = 0, y m−1 = 1,formiramo niz {y k } k∈N0 . Ako bismo sada generisali niz {u k }, gde je u k = y k+1y kuočili bismo da on divergira. No, u ovom slučaju formiramo niz {v k }, gde jev k = y 2k+2y 2k, za koji važi (videti [1, str. 403])limk→+∞ v k = x 2 1 .Dakle, na osnovu prethodnog, uzimajući y 0 = y 1 = y 2 = 0, y 3 = 1, dobijamok y k u k v k/23 1. 1.50004 1.5 3.8333 5.25005 5.75 1.36966 7.875 3.1667 4.25007 24.9375 1.34218 33.46875 3.0397 4.05959 101.734375 1.335510 135.8671875Primetimo da niz {u k } divergira, a da niz {v k } konvergira, što može i da poslužikao kriterijum za egzistenciju slučaja da su dominantni koreni realni i suprotni poznaku. Niz {v k } konvergira ka x 2 1 = 4, pa je x 1 = −x 2 = 2.